Circocentro in 2D e 3D

Il circocentro è il centro del circumcerchio (la circonferenza circoscritta ad un poligono). Se il poligono è un triangolo, questo è il punto di intersezione o degli assi dei suoi lati (figura sotto a sinistra) oppure delle bisettrici dei suoi angoli (figura sotto a destra).

Riferendosi all'immagine a destra e al caso 2D, si definiscano

$A = (x_a, y_a)$,  $B = (x_b, y_b)$,  $C = (x_c, y_c)$, $P = (x_p, y_p)$
$\overrightarrow{AB} = (B - A) = ((x_b - x_a), (y_b - y_a)) = (X_{AB}, Y_{AB})$
$\overrightarrow{AC} = (C - A) = ((x_c - x_a), (y_c - y_a)) = (X_{AC}, Y_{AC})$
$\overrightarrow{AP} = (P - A) = ((x_p - x_a), (y_p - y_a)) = (X_{AP}, Y_{AP})$
$\overrightarrow{BP} = (P - B) = ((x_p - x_b), (y_p - y_b)) = (X_{BP}, Y_{BP})$
$\overrightarrow{CP} = (P - C) = ((x_p - x_c), (y_p - y_c)) = (X_{CP}, Y_{CP})$

Bisogna trovare il punto $P = (x_p, y_p)$. Per cominciare è utile notare che, come è noto, le bisettrici degli angoli di un triangolo partono dai vertici e si intersecano nel centro dello stesso, quindi si ha che $|\overrightarrow{AP}|, |\overrightarrow{BP}|$ e $|\overrightarrow{CP}|$ sono uguali al raggio del circumcerchio. Inoltre si ha che

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{BP}$
$(X_{AB}, Y_{AB}) = (X_{AP}, Y_{AP}) - (X_{BP}, Y_{BP})$
$$\begin{equation}\label{eq:1}(X_{BP}, Y_{BP}) = (X_{AP}, Y_{AP}) - (X_{AB}, Y_{AB})\end{equation}$$

Per quanto detto sopra riguardo il raggio del circumcerchio si ha che

$|\overrightarrow{AP}|^2 = |\overrightarrow{BP}|^2$
$$\begin{equation}\label{eq:2}X_{AP}^2 + Y_{AP}^2 = X_{BP}^2 + Y_{BP}^2\end{equation}$$

Sostituendo $\eqref{eq:1}$ in $\eqref{eq:2}$ si ha che

$X_{AP}^2 + Y_{AP}^2 = (X_{AP} - X_{AB})^2 + (Y_{AP} - Y_{AB})^2$
$X_{AP}^2 + Y_{AP}^2 = X_{AP}^2 - 2X_{AP}X_{AB} + X_{AB}^2 + Y_{AP}^2 - 2Y_{AP}Y_{AB} + Y_{AB}^2$
$X_{AB}^2 + Y_{AB}^2 = 2X_{AP}X_{AB} + 2Y_{AP}Y_{AB}$
$X_{AB}^2 + Y_{AB}^2 = 2(X_{AP}X_{AB} + Y_{AP}Y_{AB})$
$$\begin{equation}\label{eq:3}X_{AB}^2 + Y_{AB}^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = |(B - A)|^2 = |(x_b - x_a) - (y_b - y_a)|^2 = 2(X_{AP}X_{AB} + Y_{AP}Y_{AB})\end{equation}$$

Allo stesso modo si ha che

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{CP}$
$(X_{AC}, Y_{AC}) = (X_{AP}, Y_{AP}) - (X_{CP}, Y_{CP})$
$$\begin{equation}\label{eq:4}(X_{CP}, Y_{CP}) = (X_{AP}, Y_{AP}) - (X_{AC}, Y_{AC})\end{equation}$$

Ancora una volta, per quanto detto sopra riguardo il raggio del circumcerchio si ha che

$|\overrightarrow{AP}|^2 = |\overrightarrow{CP}|^2$
$$\begin{equation}\label{eq:5}X_{AP}^2 + Y_{AP}^2 = X_{CP}^2 + Y_{CP}^2\end{equation}$$

Sostituendo $\eqref{eq:4}$ in $\eqref{eq:5}$ si ha che

$X_{AP}^2 + Y_{AP}^2 = (X_{AP} - X_{AC})^2 + (Y_{AP} - Y_{AC})^2$
$X_{AP}^2 + Y_{AP}^2 = X_{AP}^2 - 2X_{AP}X_{AC} + X_{AC}^2 + Y_{AP}^2 - 2Y_{AP}Y_{AC} + Y_{AC}^2$
$X_{AC}^2 + Y_{AC}^2 = 2X_{AP}X_{AC} + 2Y_{AP}Y_{AC}$
$X_{AC}^2 + Y_{AC}^2 = 2(X_{AP}X_{AC} + Y_{AP}Y_{AC})$
$$\begin{equation}\label{eq:6}X_{AC}^2 + Y_{AC}^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 = |(C - A)|^2 = |(x_c - x_a) - (y_c - y_a)|^2 = 2(X_{AP}X_{AC} + Y_{AP}Y_{AC})\end{equation}$$

Moltiplicando  $\eqref{eq:3}$ per $X_{AC}$ e  $\eqref{eq:6}$ per $-X_{AB}$ e sommando le due equazioni si può ottenere $Y_{AP}$

$X_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 = 2(X_{AC}X_{AP}X_{AB} + X_{AC}Y_{AP}Y_{AB})$
$-X_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2 = -2(X_{AB}X_{AP}X_{AC} + X_{AB}Y_{AP}Y_{AC})$
$X_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - X_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2 = 2(X_{AC}X_{AP}X_{AB} + X_{AC}Y_{AP}Y_{AB}) - 2(X_{AB}X_{AP}X_{AC} + X_{AB}Y_{AP}Y_{AC})$
$X_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - X_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2 = 2Y_{AP}(X_{AC}Y_{AB} - X_{AB}Y_{AC})$
$Y_{AP} = \displaystyle\frac{X_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - X_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2}{2(X_{AC}Y_{AB} - X_{AB}Y_{AC})} = \displaystyle\frac{X_{AC}|(B - A)|^2 - X_{AB}|(C - A)|^2}{2(X_{AC}Y_{AB} - X_{AB}Y_{AC})} = \displaystyle\frac{\begin{vmatrix}(x_c - x_a) & |(x_c - x_a) - (y_c - y_a)|^2 \\ (x_b - x_a) & |(x_b - x_a) - (y_b - y_a)|^2\end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix}(x_c - x_a) & (y_c - y_a) \\ (x_b - x_a) & (y_b - y_a) \end{vmatrix}}$

Allo stesso modo, moltiplicando  $\eqref{eq:3}$ per $Y_{AC}$ e  $\eqref{eq:6}$ per $-Y_{AB}$ e sommando le due equazioni si può ottenere $X_{AP}$

$Y_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 = 2(Y_{AC}X_{AP}X_{AB} + Y_{AC}Y_{AP}Y_{AB})$
$-Y_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2 = -2(Y_{AB}X_{AP}X_{AC} + Y_{AB}Y_{AP}Y_{AC})$
$Y_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - Y_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2 = 2(Y_{AC}X_{AP}X_{AB} + Y_{AC}Y_{AP}Y_{AB}) - 2(Y_{AB}X_{AP}X_{AC} + Y_{AB}Y_{AP}Y_{AC})$
$Y_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - Y_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2 = 2X_{AP}(Y_{AC}X_{AB} - Y_{AB}X_{AC})$
$X_{AP} = \displaystyle\frac{Y_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - Y_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2}{2(Y_{AC}X_{AB} - Y_{AB}X_{AC})} = \displaystyle\frac{Y_{AC}|(B - A)|^2 - Y_{AB}|(C - A)|^2}{2(Y_{AC}X_{AB} - Y_{AB}X_{AC})} = \displaystyle\frac{\begin{vmatrix}(y_c - y_a) & |(x_c - x_a) - (y_c - y_a)|^2 \\ (y_b - y_a) & |(x_b - x_a) - (y_b - y_a)|^2\end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix}(x_b - x_a) & (y_b - y_a) \\ (x_c - x_a) & (y_c - y_a) \end{vmatrix}}$

Dunque, dato che $X_{AP} = (x_p - x_a)$, $Y_{AP} = (y_p - y_a)$ e che cambiando due righe o colonne di una matrice cambia il segno del determinante, si ha che

$x_p = x_a + \displaystyle\frac{Y_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - Y_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2}{2(Y_{AC}X_{AB} - Y_{AB}X_{AC})} = x_a + \displaystyle\frac{Y_{AC}|(B - A)|^2 - Y_{AB}|(C - A)|^2}{2(Y_{AC}X_{AB} - Y_{AB}X_{AC})} = x_a - \displaystyle\frac{\begin{vmatrix}(y_b - y_a) & |(x_b - x_a) - (y_b - y_a)|^2 \\ (y_c - y_a) & |(x_c - x_a) - (y_c - y_a)|^2\end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix}(x_b - x_a) & (y_b - y_a) \\ (x_c - x_a) & (y_c - y_a) \end{vmatrix}}$

$y_p = y_a + \displaystyle\frac{X_{AC}|\overrightarrow{AB}|^2 - X_{AB}|\overrightarrow{AC}|^2}{2(X_{AC}Y_{AB} - X_{AB}Y_{AC})} = y_a + \displaystyle\frac{X_{AC}|(B - A)|^2 - X_{AB}|(C - A)|^2}{2(X_{AC}Y_{AB} - X_{AB}Y_{AC})} = y_a + \displaystyle\frac{\begin{vmatrix}(x_b - x_a) & |(x_b - x_a) - (y_b - y_a)|^2 \\ (x_c - x_a) & |(x_c - x_a) - (y_c - y_a)|^2\end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix}(x_b - x_a) & (y_b - y_a) \\ (x_c - x_a) & (y_c - y_a)\end{vmatrix}}$

Da notare che i denominatori al secondo membro delle due equazioni sopra non sono altro che l'area del triangolo $\triangle ABC$, moltiplicato per quattro. Si veda [2] per maggiori dettagli.

Allo stesso modo e con calcoli più laboriosi si perviene alla formula per il calcolo del circocentro in 3D

$P = A + \displaystyle\frac{|(C - A)|^2*[(B - A)\times (C - A)]\times (B - A) + |(B - A)|^2*(C - A)\times [(B - A)\times (C - A)]}{2|(B - A)\times (C - A)|^2}$



Riferimenti
[1] Geometry for Computer Graphics - John Vince
[2] Collinearità di tre punti in 2D
[3] https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/circumcenter.html